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在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a+b=13，c=7，且4sin2A+B/2-cos2C=7/2，（1）求角C的大小；（2）求△ABC的内切圆面积．

分类: 作业答案 • 2023-01-12 19:01:24
问题描述：

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a+b=13，c=7，且4sin2

A+B
2
-cos2C=
7
2
，
（1）求角C的大小；
（2）求△ABC的内切圆面积．

答

（1）由4sin2

A+B
2
-cos2C=
7
2
，
得4×
1-cos(A+B)
2
-cos2C=
7
2
，
即2+cosC-cos2C=
7
2
，
即4cos2C-4cosC+1=0，
解得cosC=
1
2
，即C=
π
3
．
（2）由C=
π
3
，a+b=13，c=7，
得49=a2+b2-2abcos
π
3
=a2+b2-ab=（a+b）2-3ab=169-3ab，
即ab=40，解得a=5，b=8或a=8或b=5，
则三角形的面积S=
1
2
absinC=
1
2
×5×8×
3
2
=10
3
，
则△ABC的内切圆的半径r=
2S
a+b+c
=
2×10
3
5+8+7
=
3
，
则△ABC的内切圆面积S=π•r2=3π

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