在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q分别是BC,C1D1,AD1,BD的中点（1）求证：PQ平行平面DCC1D1 （2）求PQ与BC1所成的角（3）求证：：EF平行平面BB1D1D
问题描述：
在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q分别是BC,C1D1,AD1,BD的中点
（1）求证：PQ平行平面DCC1D1
（2）求PQ与BC1所成的角
（3）求证：：EF平行平面BB1D1D
答
(1)取CD的中点G,DD1的中点H,连接:QG,PH,GH.由中位线定理,
知QG//BC且等于BC的一半.
PH//AD且等于AD的一半.由于BC=AD,且BC//AD 故QG=PH, 且QG//PH,即知:QGHP为平行四边形.
即得:PQ//GH, 从而PQ平行于平面DCC1D1 (一直线,平行于平面上的某一直线,则该直线就平行于这个平面).
(2) 连接D1C,由中位线定理,知D1C//GH, 从而PQ//D1C,
而又有BC1//AD1(因为ABC1D1为平行四边形)
故角AD1C即等于PQ与BC1所成的角.连接知三角形ACD1为正三角形.故角ADC1=60度.
即PQ与BC1所成的角为60度.
(3)取B1D1的中点K,连接KF,仍由中位线定理知:KF//B1C1,且等于其一半.
由此知EFKB为平行四边形,即知EF//BK.,故EF平行于平面BB1D1D((一直线,平行于平面上的某一直线,则该直线就平行于这个平面).