已知△ABC的三边a,b,c和面积S满足S=a2-(b-c)2,且b+c=8. (1)求cosA; (2)求S的最大值.
问题描述:
已知△ABC的三边a,b,c和面积S满足S=a2-(b-c)2,且b+c=8.
(1)求cosA;
(2)求S的最大值.
答
(1)由题意得:S=a2−b2−c2+2bc=
bcsinA1 2
根据余弦定理得:a2=b2+c2-2bccosA⇒a2-b2-c2=-2bccosA
代入上式得:2bc−2bccosA=
bcsinA1 2
即 sinA=4-4cosA
代入 sin2A+cos2A=1得:cosA=
15 17
(2)由(1)得 sinA=
8 17
∵b+c=8∴c=8-b
∴S=
bcsinA=1 2
bc=4 17
b(8−b)=4 17
(−b2+8b)≤4 17
64 17
所以,面积S的最大值为
64 17