已知△ABC的三边a,b,c和面积S满足S=a2-(b-c)2,且b+c=8. (1)求cosA; (2)求S的最大值.

问题描述:

已知△ABC的三边a,b,c和面积S满足S=a2-(b-c)2,且b+c=8.
(1)求cosA;
(2)求S的最大值.

(1)由题意得:S=a2b2c2+2bc=

1
2
bcsinA
根据余弦定理得:a2=b2+c2-2bccosA⇒a2-b2-c2=-2bccosA
代入上式得:2bc−2bccosA=
1
2
bcsinA

即   sinA=4-4cosA
代入  sin2A+cos2A=1得:cosA=
15
17

(2)由(1)得  sinA=
8
17

∵b+c=8∴c=8-b
S=
1
2
bcsinA=
4
17
bc=
4
17
b(8−b)
=
4
17
(−b2+8b)≤
64
17

所以,面积S的最大值为
64
17