在△ABC中,∠BAC=2∠ACB,D是⊿ABC内一点,且有AD=CD,BD=BA,探究∠DBC的度数和∠ABC的度数之比
问题描述：
在△ABC中,∠BAC=2∠ACB,D是⊿ABC内一点,且有AD=CD,BD=BA,探究∠DBC的度数和∠ABC的度数之比
答
作BM‖AC,并使∠MCA=∠BAC
∵∠BAC≠90°∴∠MCA+∠BAC≠180°∴AB不平行于CM
又∵BM‖AC,且∠MCA=∠BAC∴四边形MCAB是等腰梯形∴AB=CM
∵AD=CD∴∠DCA=∠DAC
又∵∠MCA=∠BAC ∴∠MCA－∠DCA=∠BAC－∠DAC即 ∠MCD=∠BAD
∴△MCD≌△BAD∴MD=BD
又∵BD=BA,BA=MC∴MD=BD=BA=MC
∵∠MCA=∠BAC,∠BAC=2∠ACB∴∠MCA=2∠ACB∴∠MCB=∠ACB
∵BM‖AC∴∠ACB=∠MBC∴∠MCB=∠MBC ∴MC=MB ∴MB=MD=BD
∴△MDB为等边三角形∴∠MBD=60∴∠BCA=∠MBC=∠MBD－∠CBD=60°－∠CBD
∵∠BAC=2∠ACB=2（60°－∠CBD）=120°－2∠CBD
∵在△ABC中,∠BCA+∠BAC+∠ABC=180°
∴（60°－∠CBD）+（120°－2∠CBD）+（∠CBD+∠ABD）=180°∴∠ABD=2∠CBD
∴∠DBC：∠ABC=∠DBC：（∠ABD+∠DBC）=∠DBC：3∠DBC=1：3