不可数集和紧集部分定理的证明

不可数集和紧集部分定理的证明
1）证明：A是所有元素是0,1的序列的集合,证明A是不可数的.
书上假设E是A的一个可数子集,E中的元素分别为s1 s2 s3...然后取一个s,假设sn的第n位是与s的第n位互为0,1(一个是0,则一个就是1）,那么s就与E中任何元素不同,但是s属于A,得出结论：每个A的可数子集是A的真子集.然后就推出结论,A是不可数的（理由是否则A就是A的真子集）
我想问：如何从每个A的可数子集是A的真子集推出结论：A是不可数的,给出的理由很不理解……
2）证明：度量空间的紧子集都是闭集
书上假设K是度量空间X的紧子集,他试图证明K的补集是X的开子集,方式如下：
假设p不属于K,q属于K,Vp和Wq分别是p和q的邻域,半径小于d(p,q)/2,由于K是紧的,那么K属于Wq1,Wq2…Wqn的并集W,而假设V是所有Vp1,Vp2…Vpn的交集,然后由V不交W,V属于K的补集得出V是K的补集的内点,得证.
我想问：
1．如果p是K的补集的最边缘点,那么V就是p点,不足以说V是K的补集的内点,如何从这方面理解?
2．对于开集(1,2)和闭集[1,2],都可以被有限隔开子集覆盖,为什么前者就不可能是紧集.
对于度量空间的紧子集都是闭集,能否有更直观的例子,或者正面的证明.
3．紧集中定义要求是有限个开覆盖,这个有限个的要求的目的是什么,是什么方向上的考虑?
虽然问题繁琐,但望牛牛们能够帮忙解释下,小弟谢谢了先.