如图所示,平行四边形ABCD中,以BC、CD为边向内作等边△BCE和等边△CDF.求证:△AEF为等边三角形.

问题描述:

如图所示,平行四边形ABCD中,以BC、CD为边向内作等边△BCE和等边△CDF.求证:△AEF为等边三角形.

证明:如图,∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD.
∵△BCE和△CDF是等边三角形,
∴BE=CE,CF=CD,∠EBC=∠BCE=∠ECD=60°,
∴AB=FC,∠EBA=60°-∠ABC=60°-(180°-∠BCD)=∠BCD-120°=∠ECF,即∠EBA=∠ECF,
∴在△BEA与△CEF中,

BE=CE
EBA=∠ECF
AB=FC

∴△EBA≌△ECF(SAS),
∴EA=EF,∠BEA=∠CEF,
∴∠BEC=∠BEA+∠AEC=∠CEF+∠AEC=60°,即∠AEF=60°.
∴△AEF是等边三角形.