已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的右顶点为A(2,0),离心率e=根号3/2,.O为坐标原点.（1）.求椭圆C的

（Ⅰ）因为 A（2,0）是椭圆C的右顶点,所以a=2．
又e=c/a =√3/2,所以 c=√3
所以 b^2=a^2-c^2=4-3=1．
所以椭圆C的方程为x^2/ 4 +y^2=1．
（Ⅱ）当直线AP的斜率为0时,|AP|=4,DE为椭圆C的短轴,则|DE|=2,所以
|DE| / |AP| =1/ 2
当直线AP的斜率不为0时,设直线AP的方程为y=k（x-2）,P（x0,y0）,
则直线DE的方程为y= -x/k
由y=k(x-2 )；x^2/ 4 +y^2=1得：
x^2+4[k（x-2）]^2-4=0,即（1+4k^2）x^2-16k^2x+16k^2-4=0．
所以2+x0=(16k^2)/(4k^2+1 )
所以 x0= (8k^2-2 )/(4k^2+1 )
所以 |AP|= √[(x 0-2)^2+(y 0-0)^2 ] =√[ (1+k^2)(x0-2)^2]
即 |AP|=4√(1+k^2)/(4k^2+1 )
同理可求|DE|=4√(1+k^2)/√(4+k^2)所以
|DE| / |AP| =(4k2+1 )/√(4+k^2)
设t=√(k^2+4)；则k^2=t^2-4,t＞2．
所以|DE| / |AP| =[4(t^2-4)+1]/t = ( 4t^2-15)/t (t＞2)．
令g(t)= ( 4t^2-15)/t (t＞2)．
则g′(t)=(4t^2+15)/t^2 ＞0．
所以 g（t）是一个增函数．
所以 |DE| / |AP| = ( 4t^2-15)/t ＞(4×4-15 )/2 =1/2
综上,|DE| / |AP| 的取值范围是[1/2,+∞)