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若函数f(x)=1/3x3-x在(a，10-a2)上有最小值，则a的取值范围为 _ ．

分类: 作业答案 • 2023-01-11 15:56:31
问题描述：

若函数f(x)=

1
3
x3-x在(a，10-a2)上有最小值，则a的取值范围为 ___ ．

答

由已知，f′（x）=x2-1，有x2-1≥0得x≥1或x≤-1，
因此当x∈[1，+∞），（-∞，-1]时f（x）为增函数，在x∈[-1，1]时f（x）为减函数．
又因为函数f(x)=

1
3
x3-x在(a，10-a2)上有最小值，所以开区间（a，10-a2）须包含x=1，
所以函数f（x）的最小值即为函数的极小值f（1）=-
2
3
，
又由f（x）=-
2
3
可得
1
3
x3-x=-
2
3
，于是得（x-1）2（x+2）=0
即有f（-2）=-
2
3
，因此有以下不等式成立：
-2≤a＜1
10-a2＞1
，可解得-2≤a＜1，
答案为：[-2，1）

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