如图，直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，P为斜边AB上一动点．PE⊥BC，PF⊥CA，则线段EF长的最小值为_．

分类: 作业答案 • 2023-01-11 08:19:27

问题描述：

如图，直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，P为斜边AB上一动点．PE⊥BC，PF⊥CA，则线段EF长的最小值为______．

答

法一：设EC=y，FC=x．
∵∠C=90°，PE⊥BC，PF⊥CA，
∴四边形EPFC是矩形，
∴EP=FC=x；
∵AC=1，BC=2，
∴BE=2-y，
∵∠C=90°，PE⊥BC，
∴PE∥AC，
∴∠BPE=∠A，
又∵∠B=∠B，
∴

2−y

，即y=2（1-x）；
∵EF²=x²+y²
∴EF²=5（x-

）²+

（0＜x＜1），
∴当x=

时，EF_最小值=

．
法二：连接PC，
∵PE⊥BC，PF⊥CA，
∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°，
∴四边形ECFP是矩形，
∴EF=PC，
∴当PC最小时，EF也最小，
即当CP⊥AB时，PC最小，
∵AC=1，BC=2，
∴AB=

，
∴PC的最小值为：

AC•BC

．
∴线段EF长的最小值为

．