...已知函数f(x)=(x+1)平方

这题感觉挺难.
y=f(x+t)^2=(x+t+1)^2
1、曲线y=f(x+t),其实就是将抛物线f(x)=(x+1)^2向右平移-t个单位
要满足：存在两点关于直线y=x对称,
该曲线与y=x的交点有两个,其中一个在顶点的右边（不去考虑）,另一个在顶点的左边（设为Q点）
则临界情况是,曲线在Q点的切线与y=x垂直（这个结论我证不出来,但从图上是能看出来的）
此时,y'=2(x+t+1)=-1
x+t+1=-1/2
所以,y=(x+t+1)^2=1/4
所以,Q点坐标为(1/4,1/4)
这时,t=-1/2-1-x=-3/2-1/4=-7/4
设想,曲线y=(x+t+1)^2=(x-3/4)^2再向右平移时,Q点的切线斜率<-1,则该切线与y=x的夹角就<90度,就总能找到两个点关于y=x对称
而反之,如果向左移,则该切线与y=x的夹角是钝角,就无法找到这样的两个对称点
所以,结论是t<-7/4
2、这一问相对简单些,如图：
y=-1/4其实就是y=(x+t+1)^2的准线
设M是焦点
这题只需利用焦点和准线的性质就成了.
(1)抛物线上一点到准线的距离等于它到焦点的距离
(2)平行于抛物线对称轴的光线经过抛物线反射后必经过焦点
y=-1/4上一点P,PA、PB切抛物线于A、B,
AC、BD垂直于准线于C、D
连接AM、BM（A、M、B其实共线,但这里不需证明这一点）
利用性质(2),可知AP是角MAC的角平分线（自己证明一下吧,不难）
利用性质(1),AC=AM
所以,三角形ACP全等于三角形AMP
所以,角CPA=角MPA
同理,可证：角DPB=角MPB
所以,角APB=角MPA+角MPB=180/2=90度