已知函数f（x）=（x-a）lnx，a∈R． （Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）的极小值； （Ⅱ）若函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，求a的取值范围．
问题描述：
已知函数f（x）=（x-a）lnx，a∈R．
（Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）的极小值；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，求a的取值范围．
答
（Ⅰ）定义域（0，+∞）．
当a=0时，f（x）=xlnx，f'（x）=lnx+1．
令f'（x）=0，得x＝
．1 e
当x∈(0，
)时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；1 e
当x∈(
，+∞)时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．1 e
所以函数f（x）的极小值是f(
)＝−1 e
． 1 e
（Ⅱ）由已知得f′(x)＝lnx+
．x−a x
因为函数f（x）在（0，+∞）是增函数，
所以f'（x）≥0，对x∈（0，+∞）恒成立．
由f'（x）≥0得lnx+
≥0，即xlnx+x≥a对x∈（0，+∞）恒成立．x−a x
设g（x）=xlnx+x，要使“xlnx+x≥a对x∈（0，+∞）恒成立”，只要a≤g（x）min．
因为g'（x）=lnx+2，令g'（x）=0得x＝
．1 e2
当x∈(0，
)时，g'（x）＜0，g（x）为减函数；1 e2
当x∈(
，+∞)时，g'（x）＞0，g（x）为增函数．1 e2
所以g（x）在（0，+∞）上的最小值是g(
)＝−1 e2
．1 e2
故函数f（x）在（0，+∞）是增函数时，实数a的取值范围是(−∞，−
]．1 e2