已知f(x)是定义在（0,+∞）上的增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1.（1）求证：f(8)=3.已知f(x)是定义在（0,+∞）上的增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1.（1）求证：f(8)=3.（2）解不等式：f(x)-f(x-2)>3

3换为f(x)，叠代‘归纳法

1.f(8)=f(4)+f(2)=3f(2)=3

(1)
f(2×2) = f(2) + f(2)
f(4) = 2f(2) = 2
f(4×2) = f(4) + f(2)
f(8) = 2 + 1 = 3
(2)
f(x) - f(x - 2) > 3
因为 定义在（0,+∞）
所以 x > 0 ,x- 2 > 0
所以 x > 2
f(x) - f(x - 2) > 3
f(x) > f(x - 2) + 3
f(x) > f(x - 2) + f(8)
f(x) > f(8x - 16)
因为 f(x)是增函数
所以 x > 8x - 16
所以 x 综上：2

1.
令x=y=2
代入 f(xy)=f(x)+f(y)
得 f(4)=f(2)+f(2)=2
令x=2 y=4
代入 f(xy)=f(x)+f(y)
得 f(8)=f(2)+f(4)=3
2.
f(x)-f(x-2)>3
f(x)-f(x-2)>f(8)
f(x)>f(x-2)+f(8)=f(8x-16)
因为 f(x)是定义在（0，+∞）上的增函数
所以 x>8x-16
再根据定义域
x-2>0
解得 2