如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,CD是⊙O的切线,C为切点,AD⊥CD于点D.求证: (1)∠AOC=2∠ACD; (2)AC2=AB•AD.

问题描述:

如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,CD是⊙O的切线,C为切点,AD⊥CD于点D.求证:

(1)∠AOC=2∠ACD;
(2)AC2=AB•AD.

证明:(1)∵CD是⊙O的切线,∴∠OCD=90°,
即∠ACD+∠ACO=90°.①(2分)
∵OC=OA,∴∠ACO=∠CAO,
∴∠AOC=180°-2∠ACO,即∠AOC+2∠ACO=180°,
两边除以2得:

1
2
∠AOC+∠ACO=90°.②(4分)
由①,②,得:∠ACD-
1
2
∠AOC=0,即∠AOC=2∠ACD;(5分)
(2)如图,连接BC.
∵AB是直径,∴∠ACB=90°.(6分)
在Rt△ACD与Rt△ABC中,
∵∠AOC=2∠B,
∴∠B=∠ACD,
∴Rt△ACD∽Rt△ABC,(8分)
AC
AB
AD
AC
,即AC2=AB•AD.(9分)