两个不同自然数的和是60,它们的最大公因数与最小公倍数的和也是60,满足条件的自然数共有多少组?
问题描述：
两个不同自然数的和是60,它们的最大公因数与最小公倍数的和也是60,满足条件的自然数共有多少组?
答
两个不同自然数之和是60,最大公因数与最小公倍数之和也为60.
先考虑这种情况,最小公倍数与最大公约数正好与此相等.此种情况下,大数与小数有倍比关系的.
如:(30,30)最大公约数与最小公倍数相同.
如：(20,40),(15,45),(10,50),(5,55)
还可以将60进行因式公解,可得(12,48)等等.
由此可知,这种情况下：
60=2*2*3*5
取因子为2时,有(30,30)一组
当因子为3时,有(20,40)一组
当因子为4时,有(15,45）一组!
当因子为5时,有(12,48),一组
当因子为6时,有(10,50)一组.
当因子为10时,有(6,54)一组
当因子为12时,有(5,55)一组
当因子为15时,有(4,56)一组
当因子为20时,有(3,57)一组.
当因子为30时,有（2,58）一组
当因子是60有(1,59)一组,不知道这组算不算?
所以共计为C(1,3)+[C(2,4)-C(1,2)]+[C(3,4)-c(2,3)]+C(4,4)=3+4+3+1=11组.
然后再找最大公约数与最小公倍数的值不与两自然数相等的就可以了!但你可以完全去证明不存在这样的数组的!