已知lim(x→0)(sinx+xf(x))/x^3=1/3,求f(0),f'(0),f"(0)
问题描述：
已知lim(x→0)(sinx+xf(x))/x^3=1/3,求f(0),f'(0),f"(0)
答
答：
lim(x→0) [sinx+xf(x)] / x^3 =1/3
显然，属于0---0型极限，可以应用洛必达法则
分子分母同时求导：
lim(x→0) [cosx+f(x)+xf'(x)] / (3x^2) =1/3
所以：cos0+f(0)=0，f(0)=-1
再次求导：
lim(x→0) [-sinx+f'(x)+f'(x)+xf''(x)] /(6x)=1/3
所以：-sin0+2f'(0)=0，f'(0)=0
再次求导：
lim(x→0) [-cosx+2f''(x)+f'(x)+xf''(x)] / 6=1/3
所以：
-cos0+2f''(0)+f'(0)+0=2
所以：
-1+2f''(0)=2
f''(0)=3/2
综上所述，f(0)=-1，f'(0)=0，f''(0)=3/2
答
根据条件
sin x+xf(x) =x^3/3 + o(x^3),
而sinx=x-x^3/6 +o(x^3),
因此xf(x)=-x+x^3/2 +o(x^3),
得到f(x)=-1+x^2/2+o(x^2)
f(0)=-1,f′(0)=0,f′′(0)=1