给定两个命题p:对任意实数x都有ax2+ax+1>0恒成立;q:关于x的方程x2-x+a=0有负实数根;如果p或q为真命题,p且q为假命题,求实数a的取值范围.

问题描述:

给定两个命题p:对任意实数x都有ax2+ax+1>0恒成立;q:关于x的方程x2-x+a=0有负实数根;如果p或q为真命题,p且q为假命题,求实数a的取值范围.

对于命题p:当a=0,不等式ax2+ax+1>0变为1>0,对任意实数x恒成立;
当a≠0时,对任意实数x都有ax2+ax+1>0恒成立,必需

a>0
△=a2−4a<0

解得0<a<4;
对于命题q:关于x的方程x2-x+a=0有负实数根,必需a<0,
∴当a<0时,命题Q为真命题.
∵p或q为真命题,p且q为假命题,
∴p与q必然一真一假.
若P真Q假,则
0≤a<4
a≥0
,解得0≤a<4

若P徦Q真,则
a≥4或a<0
a<0
,解得a<0

∴实数a的取值范围是a<4.