求锥面z=根号(x^2+y^2)被圆柱面x^2+y^2=2x割下部分的曲面面积(是曲面积分),hrcren的方法对了，可是结果有问题
问题描述：
求锥面z=根号(x^2+y^2)被圆柱面x^2+y^2=2x割下部分的曲面面积(是曲面积分),
hrcren的方法对了，可是结果有问题
答
对于z=f(x,y),曲面面积为
A=∫∫D dA=∫∫D √[1+(əf/əx)²+(əf/əy)²]dxdy
锥面z=√(x²+y²)被圆柱面x²+y²=2x所割
则积分区域D为：0≤x≤2,-√(2x-x²)≤y≤√(2x-x²)
化为极坐标为：0≤θ≤2π,0≤r≤2cosθ
锥面方程为：z=r；柱面方程为：r=2cosθ
əf/əx=x/r=cosθ,əf/əy=y/r=sinθ
(əf/əx)²+(əf/əy)²=cos²θ+sin²θ=1
∴A=∫∫D √[1+(əf/əx)²+(əf/əy)²]dxdy
=∫∫D √[1+1] rdrdθ
=√2∫[∫rdr]dθ
=√2∫[r^2/2]dθ
=√2∫[2cos²θ]dθ
=√2∫[1+cos2θ]dθ
=√2/2∫[1+cos2θ]d(2θ)
=√2/2[(2θ+sin2θ)]
=√2/2[4π-0]
=2√2π