计算∫∫∫(x+y+z^2)dV,其中Ω即区域范围是由曲面x^2+y^2-Z^2=1和平面z=H,z=-H(H>0)所围成.
计算∫∫∫(x+y+z^2)dV,其中Ω即区域范围是由曲面x^2+y^2-Z^2=1和平面z=H,z=-H(H>0)所围成.
积分区域为单叶双曲面与上下两平行平面z=h,z=-h所围成空间区域，
在XOZ平面和YOZ平面的截面是等轴双曲线，在XOY平面是半径为1的圆，上下底面为半径为√（1+h^2)的圆，
该积分区域被XOY平面分成上下对称两部分，故只积上半部即可，另八个卦限都相同，只要积其中一个卦限即可，
为简便，化成柱面坐标，
∫∫∫(x+y+z^2)dV
=8∫(0→π/2） dθ∫（0→√（1+h^2)）(rdr）∫(0→h)(rcos+rsinθ+z^2)dz
=8∫(0→π/2） dθ∫（0→√（1+h^2)）[rcosθ+rsinθ）h+h^3/3)rdr
=8∫(0→π/2） dθ[(hr^3/3)cosθ+(hr^3/3)sinθ+r^2h^3/6](0→√（1+h^2))
=8∫(0→π/2） dθ[(1/3)h(1+h^2)^(3/2)cosθ+[(1/3)h(1+h^2)^(3/2)sinθ+(1+h^2)h^3/6]
=8h(1+h^2)/3∫(0→π/2） [√（1+h^2)cosθ+√（1+h^2)sinθ+h^2/2]
=8h(1+h^2)/3[√（1+h^2)(sinθ-cosθ)+θh^2/2) ]((0→π/2）
=8h(1+h^2)/3[√（1+h^2)(1-0-0+1)+πh^2/4]
=8h(1+h^2)/3(2√（1+h^2)+πh^2/4)
=2h(1+h^2)(8√（1+h^2)+πh^2)/3.
哇塞~告别数坛太多年了~爱莫能助！！！
积分域是单叶双曲面与两平面所围成.记为Q.它在第一卦限的部分记为Q1
由于区域的对称性和函数的奇偶性,可知,
∫∫∫(x+y)dV=0.即以下只要计算:
∫∫∫z^2)dV.
再由对称性:
∫∫∫(x+y+z^2)dV=8倍在Q1上的积分.
用柱坐标用,化为:
∫∫∫z^2rdrdadz (a表示极角)
积分域Q1表达为:
0
=z^2[(1+z^2)-0]/2=
然后,对a 积分,区间(0, pi/2)
(z^4 对a是常量)故积分得:
=(pi/2)*(z^4+z^2)/2
最后,对z积分,区间( 0,H)
=(pi/2)*[(z^5)/5+(z^3)/3]/2 的上限值-下限值
=(pi/2)*[(H^5)/5+(H^3)/3]/2
原积分=8*(pi/2)*[(H^5)/5+(H^3)/3]/2
=2*pi*[(H^5)/5+(H^3)/3]