已知函数f（x）=sinx+cosx，x∈R．（Ⅰ）求f（π12）的值；（Ⅱ）试写出一个函数g（x），使得g（x）f（x）=cos2x，并求g（x）的单调区间．
问题描述：
已知函数f（x）=sinx+cosx，x∈R．
（Ⅰ）求f（
）的值；π 12
（Ⅱ）试写出一个函数g（x），使得g（x）f（x）=cos2x，并求g（x）的单调区间．
答
（Ⅰ）f（x）=sinx+cosx=
sin(x+
2
)，π 4
∴f(
)=π 12
sin(
2
+π 12
)=π 4
sin
2
=π 3
；
6
2
（Ⅱ）g（x）=cosx-sinx．
下面给出证明：
∵g（x）f（x）=（cosx-sinx）（sinx+cosx）=cos2x-sin2x=cos2x，
∴g（x）=cosx-sinx符合要求．
又∵g（x）=cosx-sinx=
cos(x+
2
)，π 4
由2kπ+π<x+
<2kπ+2π，得2kπ+π 4
<x<2kπ+3π 4
，7π 4
∴g（x）的单调递增区间为(2kπ+
，2kπ+3π 4
)，k∈Z．7π 4
又由2kπ<x+
<2kπ+π，得2kπ-π 4
<x<2kπ+π 4
，3π 4
∴g（x）的单调递减区间为(2kπ-
，2kπ+π 4
)，k∈Z．3π 4