如图,在△ABC中,∠BAC=2∠B,AB=2AC,求证:△ABC是直角三角形.

问题描述:

如图,在△ABC中,∠BAC=2∠B,AB=2AC,求证:△ABC是直角三角形.

证明:如图,作线段AB的垂直平分线,垂足为D,且与BC相交于点E,易证△AED≌△BED.
∴AD=

1
2
AB=
1
2
×2AC=AC,∠B=∠EAD.
∵∠BAC=2∠B,∠EAD+∠EAC=∠BAC,
∴∠EAC=∠EAD.
在△AEC和△AED中,AE=AE,∠EAC=∠EAD,AC=AD,
∴△AEC≌△AED.
∴∠C=∠EDA.
∵∠EDA=90°,
∴∠C=90°.
故△ABC是直角三角形.