如图,△ABC和△CDE均为等腰直角三角形,点B,C,D在一条直线上,点M是AE的中点,下列结论:①tan∠AEC=BCCD;②S△ABC+S△CDE≥S△ACE;③BM⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是(  )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个

问题描述:

如图,△ABC和△CDE均为等腰直角三角形,点B,C,D在一条直线上,点M是AE的中点,下列结论:①tan∠AEC=

BC
CD
;②S△ABC+S△CDE≥S△ACE;③BM⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是(  )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

∵△ABC和△CDE均为等腰直角三角形,
∴AB=BC,CD=DE,
∴∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC=45°,
∴∠ACE=90°;
∵△ABC∽△CDE

AC
EC
=
AB
ED
=
BC
CD

①∴tan∠AEC=
AC
EC

∴tan∠AEC=
BC
CD
;故本选项正确;
②∵S△ABC=
1
2
a2,S△CDE=
1
2
b2,S梯形ABDE=
1
2
(a+b)2
∴S△ACE=S梯形ABDE-S△ABC-S△CDE=ab,
S△ABC+S△CDE=
1
2
(a2+b2)≥ab(a=b时取等号),
∴S△ABC+S△CDE≥S△ACE;故本选项正确;
④过点M作MN垂直于BD,垂足为N.
∵点M是AE的中点,
则MN为梯形中位线,
∴N为中点,
∴△BMD为等腰三角形,
∴BM=DM;故本选项正确;
③又MN=
1
2
(AB+ED)=
1
2
(BC+CD),
∴∠BMD=90°,
即BM⊥DM;故本选项正确.
故选D.
答案解析:①根据等腰直角三角形的性质及△ABC∽△CDE的对应边成比例知,
AC
EC
=
AB
ED
=
BC
CD
;然后由直角三角形中的正切函数,得tan∠AEC=
AC
EC
,再由等量代换求得tan∠AEC=
BC
CD

②由三角形的面积公式、梯形的面积公式及不等式的基本性质a2+b2≥2ab(a=b时取等号)解答;
③、④通过作辅助线MN,构建直角梯形的中位线,根据梯形的中位线定理及等腰直角三角形的判定定理解答.
考试点:锐角三角函数的定义;等腰三角形的判定与性质;等腰直角三角形;梯形中位线定理.
知识点:本题综合考查了等腰直角三角形的判定与性质、梯形的中位线定理、锐角三角函数的定义等知识点.在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边.