答
∵△ABC和△CDE均为等腰直角三角形,
∴AB=BC,CD=DE,
∴∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC=45°,
∴∠ACE=90°;
∵△ABC∽△CDE
∴==
①∴tan∠AEC=,
∴tan∠AEC=;故本选项正确;
②∵S△ABC=a2,S△CDE=b2,S梯形ABDE=(a+b)2,
∴S△ACE=S梯形ABDE-S△ABC-S△CDE=ab,
S△ABC+S△CDE=(a2+b2)≥ab(a=b时取等号),
∴S△ABC+S△CDE≥S△ACE;故本选项正确;
④过点M作MN垂直于BD,垂足为N.
∵点M是AE的中点,
则MN为梯形中位线,
∴N为中点,
∴△BMD为等腰三角形,
∴BM=DM;故本选项正确;
③又MN=(AB+ED)=(BC+CD),
∴∠BMD=90°,
即BM⊥DM;故本选项正确.
故选D.
答案解析:①根据等腰直角三角形的性质及△ABC∽△CDE的对应边成比例知,==;然后由直角三角形中的正切函数,得tan∠AEC=,再由等量代换求得tan∠AEC=;
②由三角形的面积公式、梯形的面积公式及不等式的基本性质a2+b2≥2ab(a=b时取等号)解答;
③、④通过作辅助线MN,构建直角梯形的中位线,根据梯形的中位线定理及等腰直角三角形的判定定理解答.
考试点:锐角三角函数的定义;等腰三角形的判定与性质;等腰直角三角形;梯形中位线定理.
知识点:本题综合考查了等腰直角三角形的判定与性质、梯形的中位线定理、锐角三角函数的定义等知识点.在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边.