对于函数f(x)=a-2/2x+1(a∈R) (1)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数? (2)证明函数f(x)的单调性.

问题描述:

对于函数f(x)=a-

2
2x+1
(a∈R)
(1)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数?
(2)证明函数f(x)的单调性.

(1)若函数f(x)=a-

2
2x+1
为奇函数,
则f(0)=a-1=0,
解得:a=1,
当a=1时,f(x)=1-
2
2x+1
=
2x−1
2x+1
满足f(-x)=-f(x),
故存在a=1使函数f(x)为奇函数.
(2)设x1<x2,则2x1+1>0,2x2+1>0,2x12x2
∴f(x1)-f(x2)=a-
2
2x1+1
-(a-
2
2x2+1

=
2
2x2+1
-
2
2x1+1
=
2(2x12x2)
(2x1+1)(2x2+1)
<0,
即f(x1)<f(x2),
故函数f(x)为增函数