对于函数f(x)=a-2/2x+1(a∈R) (1)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数? (2)证明函数f(x)的单调性.
问题描述:
对于函数f(x)=a-
(a∈R)2
2x+1
(1)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数?
(2)证明函数f(x)的单调性.
答
(1)若函数f(x)=a-
为奇函数,2
2x+1
则f(0)=a-1=0,
解得:a=1,
当a=1时,f(x)=1-
=2
2x+1
满足f(-x)=-f(x),
2x−1
2x+1
故存在a=1使函数f(x)为奇函数.
(2)设x1<x2,则2x1+1>0,2x2+1>0,2x1<2x2
∴f(x1)-f(x2)=a-
-(a-2
2x1+1
)2
2x2+1
=
-2
2x2+1
=2
2x1+1
<0,2(2x1−2x2)
(2x1+1)(2x2+1)
即f(x1)<f(x2),
故函数f(x)为增函数