已知：如图，AB=AC，PB=PC，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E． （1）求证：PD=PE； （2）若AB=BP，∠DBP=45°，AP=2，求四边形ADPE的面积．
问题描述：
已知：如图，AB=AC，PB=PC，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）求证：PD=PE；
（2）若AB=BP，∠DBP=45°，AP=2，求四边形ADPE的面积．
答
（1）证明：连接AP．
在△ABP和△ACP中，
∵AB=AC，PB=PC，AP=AP，
∴△ABP≌△ACP（SSS）．
∴∠BAP=∠CAP，
又∵PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，
∴PD=PE（角平分线上点到角的两边距离相等）．
（2） ∵PD⊥AB，∠DBP=45°，
∴△BDP是等腰直角三角形
设DP=x，则BP=
x．
2
在直角△ADP中，
由勾股定理，得
x2+[(1+
)x]2=4，
2
整理得(4+2
)x2=4，
2
x2=
．2 2+
2
∴四边形ADPE的面积=2×△APD的面积=x(1+
)x=(1+
2
)•
2
=2 2+
2
．
2