如图，在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点，P是斜边AC上的一个动点，D为BC上的一点，且PB=PD，DE⊥AC，垂足为点E． （1）求证：PE=BO； （2）设AC=2a，AP=x，四边形PBDE的面积为y，求y与x之
问题描述：
如图，在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点，P是斜边AC上的一个动点，D为BC上的一点，且PB=PD，DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：PE=BO；
（2）设AC=2a，AP=x，四边形PBDE的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
答
（1）证明：∠PDB=∠PBD=45°+∠PBO=45°+∠DPC（∠PDB外角）
∴∠PBO=∠DPC．
又∵BP=DP
∴Rt△BOP≌Rt△PDE
∴BO=PE；
（2）PE=AO=BO=OC=a，AP=x
EC=DE=OP=AO-AP=a-x
BC=AB=
a
2
作EF⊥CD，EF=EC•
2
2
y=S△BPO+S△BOC-S△DCE
=
+a2 2
-a(a−x) 2
=a2-(a−x)2
2
-ax 2
．（0≤x≤a）．(a−x)2
2