已知二次函数y=（m-1）x2+4x+m2-1的图象经过原点． （1）请求出m的值及图象与x轴的另一交点的坐标； （2）若把（1）中求得的函数的图象沿其对称轴上下平行移动，使顶点移到直线y＝1/2x上，
问题描述：
已知二次函数y=（m-1）x2+4x+m2-1的图象经过原点．
（1）请求出m的值及图象与x轴的另一交点的坐标；
（2）若把（1）中求得的函数的图象沿其对称轴上下平行移动，使顶点移到直线y＝
x上，请求出此时函数的解析式；1 2
（3）若在（1）中求得的函数的图象上，已知有一点E在x轴上，点F在抛物线上，且点E和点F的横坐标都为-2，能否在抛物线的对称轴上找一点P，使得PE+PF最短？若能，请求出这个最短距离；若不能，请说明理由．
答
（1）∵二次函数y=（m-1）x2+4x+m2-1的图象经过原点．
∴m2-1=0，
解得：m=±1，
∵m-1≠0，
∴m=-1 （3分）
∴此二次函数的解析式的解析式为：y=-2x2+4x，
∵-2x2+4x=0，
解得：x1=0，x2=2，
∴图象与x轴的另一交点的坐标是（2，0）； （1分）
（2）∵y=-2x2+4x=-2（x-1）2+2，
∴顶点的横坐标为1，
∴y=
x=1 2
，1 2
∴新函数的顶点坐标为（1，
），1 2
∴此时函数的解析式为y=-2（x-1）2+
； （4分）1 2
（3）能在抛物线的对称轴上找一点P，使得PE+PF最短．
∵点E在x轴上，点F在抛物线上，且点E和点F的横坐标都为-2，
∴E（-2，0），
当x=-2时，y=-2×（-2）2+4×（-2）=-16，
∴F（-2，-16），
取E关于抛物线对称轴x=1的对称点E′（4，0），
连接E′F，交抛物线对称轴x=1于P点，此时即为所求，
∵PE+PF=PE′+PF=E′F=
=
EE′2+EF2
=2
162+62
；
73
∴最短距离为2
（4分）
73