求证:若三棱锥的顶点到底面的射影是底面三角形的垂心,则底面三角形的任一顶点到所对侧面的射影也必是此三角形的垂心.
问题描述:
求证:若三棱锥的顶点到底面的射影是底面三角形的垂心,则底面三角形的任一顶点到所对侧面的射影也必是此三角形的垂心.
答
已知:如图,在三棱锥P-ABC中,PO⊥平面ABC,O为△ABC的垂心.
求证:A在平面PBC内的射影,是△PBC的垂心.
证明:连AO交BC于D,∵PO⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PO⊥BC
∵O为△ABC的垂心,∴BC⊥AO
∵PO∩AO=O,∴BC⊥平面PAD,从而BC⊥PA,
同理,AB⊥PC.
由于BC⊥平面PAD,所以平面PBC⊥平面PAD,作AH⊥PD于H,则AH⊥平面PBC
所以BH是AB在平面PBC内的射影,
由于AB⊥PC,由三垂线定理得,BH⊥PC.
又BC⊥PD,∴H是△PBC的垂心.