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已知函数f（x）=2sinωxcosωx-2cos2ωx（x∈R，ω＞0），相邻两条对称轴之间的距离等于π2． （Ⅰ）求f(π4)的值； （Ⅱ）当x∈[0， π2]时，求函数f（x）的最大值和最小值及相应的x值．

分类: 作业答案 • 2023-01-03 06:27:50
问题描述：

已知函数f（x）=2sinωxcosωx-2cos2ωx（x∈R，ω＞0），相邻两条对称轴之间的距离等于

π
2
．
（Ⅰ）求f(
π
4
)的值；
（Ⅱ）当x∈[0， 
π
2
]时，求函数f（x）的最大值和最小值及相应的x值．

答

（Ⅰ）f(x)＝sin2ωx−cos2ωx−1＝

2
sin(2ωx−
π
4
)−1．
因为
T
2
＝
π
2
，所以T=π，ω=1．（3分）
所以f(x)＝
2
sin(2x−
π
4
)−1．
所以f(
π
4
)＝0（7分）
（Ⅱ）f(x)＝
2
sin(2x−
π
4
)−1
当x∈[0， 
π
2
]时，−
π
4
≤2x−
π
4
≤
3π
4
，（9分）
所以当2x−
π
4
＝
π
2
，即x＝
3π
8
时，f(x)max＝
2
−1，（11分）
当2x−
π
4
＝−
π
4
，即x=0时，f（x）min=-2．（12分）

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