已知二次函数y=ax的平方+bx+c图像的顶点是(-1,-4),它与x轴的两个交点的横坐标分别x1,x2.且x1的平方+x2的平方=10,求这个二次函数的解析式

问题描述:

已知二次函数y=ax的平方+bx+c图像的顶点是(-1,-4),它与x轴的两个交点的横坐标分别x1,x2.
且x1的平方+x2的平方=10,求这个二次函数的解析式


由韦达定理得:
①x1+x2=-b/a,②x1×x2=c/a,
③﹙x1﹚²+﹙x2﹚²=10,
由抛物线顶点公式得:
④-b/﹙2a﹚=-1,即b=2a,
⑤﹙4ac-b²﹚/﹙4a﹚=-4,
∴①²-2②代入③化简得:
⑥c=-3a,
将④、⑥式代入⑤化简得:
a=1,
∴b=2,c=-3,
∴二次函数解析式为:y=x²+2x-3

它与x轴的两个交点的横坐标分别x1,x2
顶点是(-1,-4)
设解析式是y=a(x+1)²-4
y=ax²+2ax-3
x1+x2=-2
x1x2=-3/a
x1的平方+x2的平方=10
那么(x1+x2)²=4
10-6/a=4
a=1
所以:
二次函数的解析式为:y=x²+2x-3

y=a(x+1)^2-4
=ax^2+2ax+a-4,
x1+x2=-2,x1x2=(a-4)/a,
∴x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=4-2(a-4)/a=10,
∴4a-2(a-4)=10a,
8=8a,a=1,
∴这个二次函数的解析式为y=x^2+2x-3.

-b/(2a)=-1 b/a=2
(4ac-b^2)/(4a)=-4 c/a-b/2=-4 (1)
x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=(-b/a)^2-2c/a=10 4-2c/a=10 c/a=-3代入(1) b=2 a=1 c=-3
y=x^2+2x-3