如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，AB=AD=2，CA=CB=CD=BD=2， （1）求证：BD⊥AC； （2）求三棱锥E-ADC的体积．
问题描述：
如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，AB=AD=
，CA=CB=CD=BD=2，
2
（1）求证：BD⊥AC；
（2）求三棱锥E-ADC的体积．
答
（1）证明：连接OC，∵BO=DO，AB=AD，
∴AO⊥BD，
∵BO=DO，BC=CD，∴CO⊥BD．
∵AO⊥BD，CO⊥BD，AO∩OC=O，
∴直线BD⊥平面AOC，
∵AC⊂平面AOC，
∴BD⊥AC；
（2）在△AOC中，由已知可得AO=1，CO=
，而AC=2，
3
∴AO2+CO2=AC2，
∴∠AOC=90°，
即AO⊥OC．
又AO⊥BD，BD∩OC=O，BD，OC⊂平面BCD
∴AO⊥平面BCD．
在△ACD中，CA=CD=2，AD=
，
2
∴AO=1，S△CDE=
×1 2
×22=
3
4
，
3
2
∴VE-ACD=VA-CDE=
•S△CDE•AO=1 3
．
3
6