如图在平面直角坐标系中,顶点为4,-1的抛物线与y轴交于A点,与X轴交于BC俩点,B在C的左侧,已知A的坐标为0,3

不知是否学过导数?
1、设抛物线方程为：y=ax^2+bx+c,
A点坐标（0,3）,则c=3,
对称轴方程为：x=-b/(2a),
4=-b/(2a),
b=-8a,
顶点坐标：-1=(4a*3-b^2)/(4a),
12a-64a^2=-4a,
a≠0,a=1/4,
b=-2,
∴函数表达式为：y=x^2/4-2x+3.
2、设圆和BD相切于F,对称轴与X轴交点为E,
连结CF,CF⊥BD,AB⊥BD,
则CF//AB,
〈FCB=〈ABO,（同位角）,
〈BFC=〈AOB=90度,
RT△AOB∽RT△BFC,
|AB|/|BC|=|OB|/|CF|,(1)
令y=0,则x^2/4-2x+3=0,
x^2-8x+12=0,
(x-2)(x-6)=0,
B(2,0),C(6,0),
|BC|=6-2=4,
|OP|=2,|OA|=3,
由勾股定理,
|AB|=√13,
由（1）式得：|CF|=8/√13,
|EC|=|BC|/2=2,
|CF|=8/√13>8/√16=2,
故R>|EC|,圆与对称轴相交.
3、三角形APC义底|AC|是公用,故其高最大者,面积就最大,
当抛物线上切线与直线AC平行时,该点与AC距离为最大,
AC斜率为：（0-3）/（6-0）=-1/2,
y'=(x^2/4-2x+3)'=x/2-2=-1/2,
x=3,y=-3/4,
P坐标为：（3,-3/4）,
AC方程x+2y-6=0,
P至直线AC距离d=|3+2*(-3/4)-6|/√5=9√5/10,
|AC|=√(OA^2+OC^2)=3√5,
所以最大面积：S△APC=|AC|*d/2=3√5*(9√5/10)/2=27/4.