已知对任意实数x 函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x) 若方程f(x)=0有2011个实数解 则这2011个实数解之和为?
问题描述：
已知对任意实数x 函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x) 若方程f(x)=0有2011个实数解 则这2011个实数解之和为?
答
2011
由f(1+x)=f(1-x) 易得f(x)=f[1+(x-1)]=f[1-(x-1)]=f(2-x)
若xi满足f(xi)=0，则2-xi必然也满足f(2-xi)=0。
也即，如果有一个根xi是f(x)=0的根，那么2-xi必然也是方程f(x)=0的根，前提是xi≠2-xi，也即xi≠1。显然，这一对根之和为2。
由于f(x)=0有2011个实数解，2011=2010+1=2*1005+1，故必有1005对和为2的相异根。还有一个根只能是1，因为只有1满足1=2-1。
于是这2011个实数解之和为2*1005+1=2011
答
∵恒有f(1+x)=f(1-x)
∴恒有f(x)=f(2-x)
若m是方程f(x)=0的一个根.
易知,f(2-m)=f(m)=0
∴2-m和m均是方程f(x)=0的根
∴方程f(x)=0的两个根成对.
且其和为2
易知,仅有一个根x=1不是成对.
∴这2011个根的和
=(2010÷2)×2+1
=2011