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已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象关于点M(3π4，0)对称，且在区间[0，π2]上是单调函数，求φ和ω的值．

分类: 作业答案 • 2023-01-07 04:55:16
问题描述：

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象关于点M(

3π
4
，0)对称，且在区间[0，
π
2
]上是单调函数，求φ和ω的值．

答

由f（x）是偶函数，得f（-x）=f（x），
即sin（-ωx+φ）=sin（ωx+φ），
所以-cosφsinωx=cosφsinωx，
对任意x都成立，且w＞0，
所以得cosφ=0．
依题设0≤φ≤π，所以解得φ=

π
2
，
由f（x）的图象关于点M对称，
得f(
3π
4
−x)＝−f(
3π
4
+x)，
取x=0，得f（
3π
4
）=sin（
3ωπ
4
+
π
2
）=cos
3ωπ
4
，
∴f（
3π
4
）=sin（
3ωπ
4
+
π
2
）=cos
3ωπ
4
，
∴cos
3ωπ
4
=0，
又w＞0，得
3ωπ
4
=
π
2
+kπ，k=0，1，2，3，…
∴ω=
2
3
（2k+1），k=0，1，2，…
当k=0时，ω=
2
3
，f（x）=sin（
2
3
x+
π
2
）在[0，
π
2
]上是减函数，满足题意；
当k=1时，ω=2，f（x）=sin（2x+
π
2
）=cos2x，在[0，
π
2
]上是减函数，满足题意；
当k=2时，ω=
10
3
，f（x）=sin（
10
3
x+
π
2
）在[0，
π
2
]上不是单调函数；
所以，综合得ω=
2
3
或2．

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