常微分方程 解dy/dx + y - x^2=0
问题描述：
常微分方程 解dy/dx + y - x^2=0
答
y'+y=x²这是一阶线性微分方程,设u=u(x),使方程左边=d(uy)/dxuy'+uy=x²则由于乘法法则u'=du/dx=u分离变量积分du/u=dxu=e^x(ye^x)'=x²e^xye^x=∫x²e^xdx等式右边用分部积分法=x²e^x-∫xe^xdx...二阶线性常系数的通解=齐次方程通解+非齐次方程特解对于它的齐次方程，也就是y''+y=0设y=e^(ax)得到特征方程a^2+1=0a=i（正或负）这里用欧拉方程e^(ix)=cosx+isinx分别取实数部和虚数部的线性组合作为齐次方程通解y(齐次通解)=C1*cosx+C2*sinx然后有两种方法，一是常数变易法，C1=C1(x)，C2=C2(x)代入原方程求出。我用第二种方法：由于等式右边是x^2，二次项则设y=ax²+bx+c（a与上面不同）代入 2a+ax²+bx+c=x²得到a=1,b=0,c=-2y(非齐次特解)=x²-2y(微分方程通解)=C1*cosx+C2*sinx+x²-2