如图所示,已知Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,D,E,F分别是三边AB,BC,CA上的点,则DE+EF+FD的最小值为( ) A.125 B.245 C.5 D.6
问题描述:
如图所示,已知Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,D,E,F分别是三边AB,BC,CA上的点,则DE+EF+FD的最小值为( )
A.
12 5
B.
24 5
C. 5
D. 6
答
作F关于AB、BC的对称点F′、F″
则FD=F′D,FE=F″E.
DE+EF+FD=DE+F′D+F″E.
两点之间线段最短,可知当F固定时,DE+F′D+F″E的最小值就是线段F′F″的长.
于是问题转化:F运动时,F′F″什么时候最短.
F′,F″是关于B点对称的.
作AC关于AB、BC的对称线段,可以发现F′,F″是一个菱形对边上的关于中心B对称的对称点.
很容易发现,F′F″的最短距离就是菱形对边的距离,也就是菱形的高.
=5x4×3×4 2
x=
,高是24 5
,24 5
故DE+EF+FD的最小值为
,24 5
此时F在斜边上的高的垂足点,D、E在B点.