函数 f（x）=x3+ax2+bx+c,过曲线 y=f（x）上的点 P（1,f（1））的切线方程为 y=3x+1．（1）若 y=f（x）在 x=-2 时有极值,求 f （x）的表达式；答案里面的“过 y=f(x) 上点 P(1,f(1)) 的切线方程为：y-f(1)=f′(1)(x-1) 即 y-(a+b+c+1)=(3+2a+b)(x-1) ”
问题描述：
函数 f（x）=x3+ax2+bx+c,过曲线 y=f（x）上的点 P（1,f（1））的切线方程为 y=3x+1．
（1）若 y=f（x）在 x=-2 时有极值,求 f （x）的表达式；
答案里面的“过 y=f(x) 上点 P(1,f(1)) 的切线方程为：y-f(1)=f′(1)(x-1) 即 y-(a+b+c+1)=(3+2a+b)(x-1) ”
答
先对f（x）求导，得到f′(x)=3x2＋2ax＋b,则f′(1)＝3＋2a＋b及在x=1处切线斜率为f′(1)。然后点线式列出切线方程
答
f（x）=x^3+ax^2+bx+c
f'(x)=3x^2+2ax+b
点 P（1，f（1））的切线方程为 y=3x+1
把x=1代入得f'(1)=2+2a+b=3 (1)
又 P（1，f（1））在切线上则
f(1)=4
代入f(x)得
4=1+a+b+c (2)
y=f（x）在 x=-2 时有极值
所以f'(-2)=12-4a+b=0 (3)
联立方和组解得a,b,c即可
答
在点P(1,f(1))处的切线方程,
则斜率为f'(1),过点P(1,f(1))
利用直线方程的点斜式,则y-f(1)=f'(1)*(x-1)
∵ f(1)=1+a+b+c
f'(x)=3x²+2ax+b
∴ f'(1)=3+2a+b
∴切线方程是y-(1+a+b+c)=(3+2a+b)*(x-1)