定义在R上的奇函数f(x)满足对任意的x都有f(x-1)=f(4-x)且f(x)=x,x∈(0,32),则f(2012)-f(2010)等于(  ) A.-1 B.0 C.1 D.2

问题描述:

定义在R上的奇函数f(x)满足对任意的x都有f(x-1)=f(4-x)且f(x)=x,x∈(0,

3
2
),则f(2012)-f(2010)等于(  )
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2

由f(x-1)=f(4-x)可得f(x)=f(3-x),
又由f(x)在R上是奇函数,即f(-x)=-f(x),f(0)=0,
有f(x)=-f(-x)=-f(3+x)=f(6+x),则f(x)是周期为6的函数,
f(2012)-f(2010)=f(2)-f(0),
又由f(x)=f(3-x),则f(2)=f(3-2)=f(1)=1,
故f(2012)-f(2010)=f(2)-f(0)=1-0=1,
故选C.