已知函数f(x)=1/3x3+ax2+6x−1.当x=2时,函数f(x)取得极值. (I)求实数a的值; (II)若1≤x≤3时,方程f(x)+m=0有两个根,求实数m的取值范围.

问题描述:

已知函数f(x)=

1
3
x3+ax2+6x−1.当x=2时,函数f(x)取得极值.
(I)求实数a的值;
(II)若1≤x≤3时,方程f(x)+m=0有两个根,求实数m的取值范围.

(I)由f(x)=

1
3
x3+ax2+6x−1,
则 f'(x)=x2+2ax+6
因在x=2时,f(x)取到极值
所以f'(2)=0⇒4+4a+6=0
解得,a=−
5
2

(II)由(I)得f(x)=
1
3
x3
5
2
x2+6x−1

且1≤x≤3
则f'(x)=x2-5x+6=(x-2)(x-3)
由f'(x)=0,解得x=2或x=3;
f'(x)>0,解得x>3或x<2;
f'(x)<0,解得2<x<3
∴f(x)的递增区间为:(-∞,2)和(3,+∞);
f(x)递减区间为:(2,3)
f(1)=
17
6
,f(2)=
11
3
,f(3)=
7
2

要f(x)+m=0有两个根,
则f(x)=-m有两解,分别画出函数y=f(x)与y=-m的图象,如图所示.
由图知,实数m的取值范围:
11
3
≤m<−
7
2