设a>0,求函数f(x)=x-ln(x+a)(x∈(0,+∞))的单调区间.

问题描述:

设a>0,求函数f(x)=

x
-ln(x+a)(x∈(0,+∞))的单调区间.

由题意得f′(x)=

1
2
x
-
1
x+a
(x>0),
令f′(x)=0,
即x2+(2a-4)x+a2=0,
其中△=4(a-2)2-4a2=8-8a,
(i)当a>1时,△<0成立,
对所有x>0,有x2+(2a-4)+a2>0.
即f′(x)>0,
此时f(x)在(0,+∞)内单调递增;
(ii)当a=1时,△=0成立,
对x≠1,有x2+(2a-4)x+a2>0,
即f′(x)>0,
此时f(x)在(0,1)内单调递增,且在(1,+∞)内也单调递增,
又知函数f(x)在x=1处连续,
因此,函数f(x)在(0,+∞)内单调递增;
(iii)当0<a<1时,△>0成立,
令f′(x)>0,
即x2+(2a-4)x+a2>0,
解得x<2-a-2
1-a
或x>2-a+2
1-a

因此,函数f(x)在区间(0,2-a-2
1-a
)
(2-a+2
1-a
,+∞)
内也单调递增.
令f′(x)<0,
即x2+(2a-4)x+a2<0,
解得2-a-2
1-a
<x<2-a+2
1-a

因此,函数f(x)在区间(2-a-2
1-a
,2-a+2
1-a
)
内单调递减.