如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为AC上一点,延长BC到E,使得CE=CD. 求证:BD⊥AE.
问题描述:
如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为AC上一点,延长BC到E,使得CE=CD.
求证:BD⊥AE.
答
证明:
延长BD交AE于M,
∵∠ACB=90°,
∴∠ACE=180°-∠ACB=180°-90°=90°,
∴∠DCB=∠ACE,
在△ACE和△BCD中
∵
,
AC=BC ∠ACE=∠DCB CE=CD
∴△ACE≌△BCD(SAS),
∴∠DBC=∠CAE,
∵∠ACB=90°,
∴∠DBC+∠BDC=90°,
∵∠ADM=∠BDC,
∴∠CAE+∠ADM=90°,
∴∠AMD=180°-90°=90°,
∴BM⊥AE,
即BD⊥AE