方程x²＋5x＋1＝0的两个根a、b,方程x²＋3x＋1=0的根为c、d求﹙a－c﹚﹙b－c﹚﹙a＋d﹚﹙b＋d﹚
问题描述：
方程x²＋5x＋1＝0的两个根a、b,方程x²＋3x＋1=0的根为c、d求﹙a－c﹚﹙b－c﹚﹙a＋d﹚﹙b＋d﹚
答
根与系数的关系：
a+b=-5 ab=1 c+d=-3 cd=1
以及c²+3c+1=0 d²+3d+1=0 即c²=-1-3c d²=-1-3d
∴（a-c)(b-c)=ab-(a+b)c+c²=1+5c+c²=2c
(a+d)(b+d)=ab+(a+b)d+d²=1-5d+d²=-8d
∴(a-c)(b-c)(a+d)(b+d)=-16cd=-16
答
由题意得：(x-a)(x-b)=x²+5x+1
把x=c，-d代入得
﹙a－c﹚﹙b－c﹚=c²+5c+1=2c
﹙a＋d﹚﹙b＋d﹚=d²-5d+1=-8d
两式相乘得
﹙a－c﹚﹙b－c﹚﹙a＋d﹚﹙b＋d﹚=-16cd=-16
答
a+b=-5,ab=1c+d=-3,cd=1﹙a－c﹚﹙b－c﹚﹙a＋d﹚﹙b＋d﹚=(ab+ad-bc-cd)(ab-ac+db-cd)=(ad-bc)(bd-ac)=d^2-b^2+c^2-a^2=c^2+d^2-(a^2+b^2)a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=25-2=23c^2+d^2=(c+d)^2-2cd=9-2=7原式=7-23=-16...