g[x]=x^2+alnx+2/x在【1,4】上是减函数.求a的范围
问题描述：
g[x]=x^2+alnx+2/x在【1,4】上是减函数.求a的范围
答
g '(x)=2x+a/x-2/x^2=(2x^3+ax-2)/x^2
g[x]=x^2+alnx+2/x在【1,4】上是减函数
则：g `(x)≤0在【1,4】上恒成立；
即：2x^3+ax-2≤0在【1,4】上恒成立；
即：-ax≤2(x^3-1)在【1,4】上恒成立;
-a≤2(x^2-1/x)在【1,4】上恒成立
设h(x)=x^2-1/x,则h `(x)=2x+1/x^2>0;
所以函数h(x)在【1,4】上是增函数；x=1时,h(x)取到最小值h(1)=0
要使-a≤2(x^2-1/x)在【1,4】上恒成立
只需-a≤0,即a≥即可；
所以a的范围是：[0,∞)