一道定积分的证明题 设f(x)在[-b,b]连续,证明：定积分[-b,0]f(x)dx=定积分[0,b]f(-x)dx
问题描述：
一道定积分的证明题 设f(x)在[-b,b]连续,证明：定积分[-b,0]f(x)dx=定积分[0,b]f(-x)dx
答
令y=-x;
[0,b]f(-x)dx=
-[0,b]f(-x)d(-x)=
[b,0]f(-x)d(-x)=
[b,0]f(y)dy=[-b,0]f(x)dx
最后一步利用一元函数积分不不变性.不能这么理解。如果非要加一个几何意义的话，在[a,b]区间内的积分 其实就是在这段定义域内对应的图形与x轴形成的正向面积-负向面积。 正向面积是指在x轴以上的那部分围成的面积，负向面积相反。这道 题目的难点，一个是换元，令y=-x ，这只是形式上的变化 ，但是变 元之后积分区间也要随着变化。比如以前是[-1,0],换元之后积分区间 变为[1,0] 。难点二在于一个公式的应用，即： ∫[a→b] f(x) dx=- ∫[b→a] f(x) dx 即：积分区间方向变换后，要在前面加一个负号。 难点三是一元函数的积分不变性。即：令y=-x后 ∫[- b→0] f(x) dx =-∫[b→0] f(- y) dy