已知正方形ABCD的边长是13,平面ABCD外一点P到正方形各顶点的距离都为13,M、N分别是PA、BD上的点且PM:MA=BN:ND=5:8,如图. (1)求证:直线MN∥平面PBC; (2)求线段MN的长.

问题描述:

已知正方形ABCD的边长是13,平面ABCD外一点P到正方形各顶点的距离都为13,M、N分别是PA、BD上的点且PM:MA=BN:ND=5:8,如图.

(1)求证:直线MN∥平面PBC;
(2)求线段MN的长.

(1)证明:连结AN并延长和BC交于E点,由PM:MA=BN:ND=5:8,可得EN:NA=BN:ND=MP:MA=5:8,

NE
NA
=
PM
MA
,∴MN∥PE,而MN⊄平面PBC,PE⊂面PBC,
∴MN∥平面PBC.
(2)由于△PBC是边长为13的等边三角形,
余弦定理求得PE2=PB2+BE2-2PB•EBcos60°=132+(
13
2
)
2
-2×13×
13
2
×
1
2
=
8281
64

∴PE=
91
8

由于△AMN 与△APE的相似比为
8
13
,∴MN=
8
13
PE=7.