若函数f(x)=1/3x3-ax2+b在x=-2处有极值若函数f(x)在(=-3,3)=上又且仅有一个零点,求b的取值范围
问题描述:
若函数f(x)=1/3x3-ax2+b
在x=-2处有极值若函数f(x)在(=-3,3)=上又且仅有一个零点,求b的取值范围
答
求导f'(x)=x^2-2ax
根据题意 f'(-2)=4+4a=0
a=-1
所以f(x)=x^3/3+x^2+b
f'(x)=x^2+2x
不难看出f(x)在(负无穷,-2),(0,正无穷)上递增,在[-2,0]上递减
f(-3)=-9+9+b=b
f(-2)=-8/3+4+b=b+4/3
f(0)=b
f(3)=9+9+b=b+27
所以要想有一个零点
f(-2)小于等于0
b小于等于-4/3
所以b的范围(负无穷,-4/3)
答
f’(x)=x^2-2ax
f’(-2)=4+4a=0,a=-1
f’(x)=x^2+2x=0
x=0 or x=-2
f(x)在(-∞,-2),(0,+∞)单增,在(-2,0)单减.
f(x)=1/3x^3+x^2+b
f(-3)=-9+9+b=b
f极大值=f(-2)=-8/3+4+b=4/3+b
f极小值=f(0)=b=f(-3),
f(3)=9+9+b=18+b
当b=0,
函数f(x)在(-3,3)上又且仅有一个零点x=0,
(注意:原题是闭区间的意思?在开区间的前后有等号:“函数f(x)在(=-3,3)=上又且仅有一个零点”,如果是闭区间,b=0无解.)
当b>0,函数f(x)>0在(-3,3)恒成立.无解.
当b