已知△ABC,AD是BC边上的高,试证明AB²+CD²=AC²+BD²

问题描述:

已知△ABC,AD是BC边上的高,试证明AB²+CD²=AC²+BD²

AB²+CD²=AC²+BD² 等价于证明AB²-BD² =AC²-CD²
由于AD是BC边上的高,所以三角形ABD、ACD都是直角三角形
分别有勾股定理AB²-BD² =AD²
AC²-CD²=AD²
所以AB²-BD² =AC²-CD²
AB²+CD²=AC²+BD²

AB²=BD²+AD²
AC²=AD²+CD²
相减得AB²-AC²=BD²-CD²
即AB²+CD²=AC²+BD²