函数f（x）=（1+x-x22+x33-x44+…-x20122012+x20132013） cos2x在区间[-3，3]上的零点的个数为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6
函数f（x）=（1+x-
+x2 2
-x3 3
+…-x4 4
+x2012 2012
） cos2x在区间[-3，3]上的零点的个数为（ ）x2013 2013
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
设g（x）=1+x-
+x2 2
-x3 3
+…-x4 4
+x2012 2012
，则g′（x）=1-x+x2-x3+…+x2012=x2013 2013
，1+x2013
1+x
在区间[-3，3]上，
＞0，故函数g（x）在[-3，3]上是增函数，1+x2013
1+x
由于g（-3）式子中右边x的指数为偶次项前为负，奇数项前为正，结果必负，即g（-3）＜0，
且g（3）=1+3+（-
+x2 2
）+（-x3 3
+x4 4
）+…+（-x5 5
+x2012 2012
）＞0，x2013 2013
故在[-3，3]上函数g（x）有且只有一个零点．
又y=cos2x在区间[-3，3]上有四个零点，且与上述零点不重复，
∴函数f（x）=（1+x-
+x2 2
-x3 3
+…-x4 4
+x2012 2012
）cos2x在区间[-3，3]上的零点的个数为1+4=5．x2013 2013
故选C．
答案解析：先将原函数分解成两个函数g（x）=1+x-
+x2 2
-x3 3
+…-x4 4
+x2012 2012
和y=cos2x的积，分别计算这两个函数的零点．前面的用导数证明是单调增，且f（-3）f（3）＜0，所以必有一个零点；后面一个函数y=cos2x的零点是四个，从而得出答案．x2013 2013
考试点：根的存在性及根的个数判断；二项式定理的应用．
知识点：本题主要考查了根的存在性及根的个数判断，导数的应用，考查了等价转化的思想，属于中档题．