高数"微分中值定理与导数的应用"中的几题1.设f（x）在[0,1]上连续,在(0,1)中可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1/2,证明：对任意的c∈（0,1）,存在ξ∈（0,1）使得f'(ξ)=c2.已知f(x)在R内可导,且(x→∞)lim f'(x)=e,(x→∞)lim [(x+c)/(x-c)]=(x→∞)lim [f(x)-f(x-1)]求c的值

1.证：由拉格朗日中值定理：存在0存在0由介值定理：存在ξ∈（ξ1，ξ2）使得f'(ξ)∈（0，1），即存在ξ∈（0，1）使得f'(ξ)=c，c∈（0，1）.
2.由拉格朗日中值定理：(x→∞)lim [f(x)-f(x-1)]=)]=(x→∞)lim [f(x)-f(x-1)]/[x-(x-1)]=(x→∞)lim f'(ξ)=e,(x-1所以(x→∞)lim [(x+c)/(x-c)]=e
解得c=x(e-1)/e+1；

1、令 F(x) = f(x) - cx,易知F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)中可导
又 f(0)=f(1)=0 ,f(1/2)=1/2,c∈（0,1）
则 F(1) = f(1) - c = -c ＜ 0
F(1/2)= f(1/2) - 1/2 c = 1/2 (1-c)＞ 0
由零值定理可知,存在一个η∈（1/2 ,1）,使 F(η) = 0
又 F(0) = f(0) - 0 = 0
对F(x)在[0 ,η]上用罗尔定理,存在一个ξ∈（0,η）包含于（0,1）使得F′(ξ) = 0 即f'(ξ)=c
2、任取x∈R,则f(x)在区间[x-1,x]内可导,在区间(x-1,x)内连续
由拉格朗日中值定理,存在一点 ξ∈(x-1,x),
使得 f'(ξ) = [f(x) - f(x-1)]/[x-(x-1)]
即得 (x→∞)lim f'(x)=(x→∞)lim [f(x)-f(x-1)] = e
所以 (x→∞)lim [(x+c)/(x-c)]^x = e
解得 c = 1/2
（注：[(x+c)/(x-c)]应该漏掉一个x次方,否则没法求解,你再对照一下题目）