如图,三个半径为3的圆两两外切,且△ABC的每一边都与其中的两个圆相切,那么△ABC的周长是 ___ .

问题描述:

如图,三个半径为

3
的圆两两外切,且△ABC的每一边都与其中的两个圆相切,那么△ABC的周长是 ___ .
作业帮

如图,∵连接AO、OP、PB、OE、PF、ON;
∴根据相切两圆性质得出OP=PN=ON=2

3

∴△ONP是等边三角形,
∴∠OPN=∠PON=∠ONP=60°,
∵根据切线性质得出OE⊥AB,PF⊥AB,
∴OE∥PF,OE=PF,
∴四边形OEFP是矩形,
∴OP∥AB,
同理PN∥BC,ON∥AC,
则∠OPN=∠ABC=60°,∠PON=∠BAC=60°
根据切线长定理∠ABP=
1
2
∠ABC=30°,∠EAO=30°,
作业帮
在Rt△AOE中,∠EAO=30°,OE=
3

则AE=3,同理可得BF=3;
由于⊙O、⊙P外切,所以OP=2
3

故AB=AE+EF+BF=6+2
3
,根据切线长定理可得,AB=BC=AC,
因此△ABC的周长为:18+6
3

答案解析:设与AB相切的两个圆为⊙O、⊙P,设切点为E、F,连接OA、OP、QB、OE、PF;在Rt△OAE中,根据⊙O的半径和∠BAO的度数可求得AE的长,同理可得BF的值,而⊙O、⊙P外切,那么EF(即OP)为两圆的半径和,由此可求得等边三角形的边长,进而可求得其周长.
考试点:相切两圆的性质;等边三角形的性质.

知识点:此题主要考查了相切两圆的性质、等边三角形的性质以及解直角三角形的应用,正确的构造直角三角形是解决此类问题的关键.