已知三个半径为根号3的圆两两外切,且三角形ABC的每一边都与其中两个圆内切,求三角形ABC的周长

问题描述:

已知三个半径为根号3的圆两两外切,且三角形ABC的每一边都与其中两个圆内切,求三角形ABC的周长

连接3个圆心,为等边三角形。三角形ABC也为等边三角形。分别连接下面两圆的圆心与三角形ABC的2个顶点,可知切点与顶点的距离为根3倍的根3,即3,两切点间距为2倍根3,所以三角形ABC的边长为6+2倍根3,所以周长=18+6倍根3.

∵三圆两两相切,所以外切的△ABC为等边三角形(证明略),如图,
∴BO2平分∠ABC,∠O2BC=30°
∵O2D⊥BD
∴O2D/BD=tan30°=(√3)/3
∴BD=O2D/〔(√3)/3〕=(√3)/〔(√3)/3〕=3
同理CE=3
DE=O2O3=2√3
∴BC=BD+DE+EC=3+3+2√3=6+2√3
∴△ABC的周长为:
3BC=3×(6+2√3)=18+6√3