如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BF平分∠ABC，CD⊥AB于点D，与BF交于点G，GE∥AC．求证：CE与FG互相垂直平分．
问题描述：
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BF平分∠ABC，CD⊥AB于点D，与BF交于点G，GE∥AC．求证：CE与FG互相垂直平分．
答
知识点：本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形及菱形的判定与性质，涉及面较广，难度适中．
证明：延长EG交BC于点K．
∵GE∥AC，∠ACB=90°，
∴∠BKE=∠ACB=90°，即EK⊥BC．
又∵CD⊥AB，BF平分∠ABC，
∴GK=GD．
在Rt△GKB与Rt△GDB中，
，
GK＝GD BG＝BG
∴Rt△GKB≌Rt△GDB（HL），
∴DB=BK．
在△CBD与△EBK中，
，
∠CBD＝∠EBK BD＝BK ∠CDB＝∠EKB
∴△CBD≌△EBK（ASA），
∴BC=BE，
∴BF垂直平分CE（三合一）．
∴CO=EO，
在△COF与△EOG中，
，
∠FCO＝∠GEO CO＝EO ∠COF＝∠OG
∴△COF≌△EOG（ASA）
∴FC=GE，
又∵GE∥AC．
∴四边形FCGE为平行四边形，
∵CG=GE，
∴四边形FCGE为菱形，
∴CE与GF互相垂直平分．
答案解析：延长EG交BC于点K．由角平分线的性质可得∠GBK=∠GBD，GK=GD，由全等三角形的判定定理可知△GBK≌△GBD，△CBD≌△EBK，由平行四边形的判定定理可知FCGE为平行四边形，根据CG=GE即平行四边形的邻边相等可知此四边形是菱形，由菱形的对角线互相垂直平分即可求解．
考试点：菱形的判定与性质．
知识点：本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形及菱形的判定与性质，涉及面较广，难度适中．